叉积为什么不符合交换律，为什么向量积满足反交换律

为什么向量积满足反交换律

因为aXb=-bXa即两个向量相乘次序交换，差一个负号。这由向量的向量积的定义可以推出。用行列式表示，即两行交换，行列式差一个负号，所以向量积满足反交换律。

向量积，也被称为叉积（即交叉乘积）、外积，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个伪向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量都垂直。

向量积不符合交换律这是由于点积的结果是数，而叉积的结果仍是向量，交换积的顺序就相当于反向延长线，但叉积（又叫向量积、外积）却不满足交换律，而是满足反版交换权律。向量积数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。

按照向量叉积的定义计算即可证明。

比如说用行列式的计算法，你把两个叉积的行列式写出来，然后计算此行列式，就可以发现反交换律。因为两个行列式的不同就在于:两行互换了。

而行列式的性之中就有:行列式两行互换，行列式的值变号。

几何意义及其运用

叉积的长度 |a×b| 可以解释成这两个叉乘向量a,b共起点时，所构成平行四边形的面积。据此有：混合积 [a b c] = (a×b)·c可以得到以a，b，c为棱的平行六面体的体积。

2.代数规则

反交换律：a×b= -b×a

加法的分配律：a× (b+c) =a×b+a×c

与标量乘法兼容：(ra) ×b=a× (rb) = r(a×b)

不满足结合律，但满足雅可比恒等式：a× (b×c) +b× (c×a) +c× (a×b) =0

分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的 R3 构成了一个李代数。

两个非零向量a和b平行，当且仅当a×b=0。
3.拉格朗日公式

(a×b)×c=b(a·c) -a(b·c)

a× (b×c) =b(a·c) -c(a·b)
4.矩阵形式

给定直角坐标系的单位向量i，j，k满足下列等式：

i×j=k；

j×k=i ；

k×i=j ；

通过这些规则，两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来，不需要考虑任何角度：设

a= [a1, a2, a3] =a1i+ a2j+ a3k；

b= [b1,b2,b3]=b1i+ b2j+ b3k ；

则a × b= [a2b3-a3b2,a3b1-a1b3, a1b2-a2b1]。
5.高维情形

七维向量的叉积可以通过八元数得到，与上述的四元数方法相同。

七维叉积具有与三维叉积相似的性质：

双线性性：x× (ay+ bz) = ax×y+ bx×z；(ay+ bz) ×x= ay×x+ bz×x；

反交换律：x×y+y×x= 0；

同时与 x 和 y 垂直：x· (x×y) =y· (x×y) = 0；

拉格朗日恒等式：|x×y|² = |x|² |y|² - (x·y)²；

不同于三维情形，它并不满足雅可比恒等式：x× (y×z) +y× (z×x) +z× (x×y) ≠ 0。

向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用也十分广泛，通常应用于物理学光学和计算机图形学中。

在应用方面：

在物理学光学和计算机图形学中，叉积被用于求物体光照相关问题。求解光照的核心在于求出物体表面法线，而叉积运算保证了只要已知物体表面的两个非平行矢量(或者不在同一直线的三个点)，就可依靠叉积求得法线。

参考资料

课程教材研究所.人教版高中数学必修4.北京：人民教育出版社，2007

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