通项公式的基本方法
通项公式的基本方法有直接法、观察分析法、待定系数法、递推归纳法。
按一定次序排列的一列数称为数列，而将数列{an}的第n项用一个具体式子（含有参数n）表示出来，称作该数列的通项公式。
这正如函数的解析式一样，通过代入具体的n值便可求知相应an项的值。
而数列通项公式的求法，通常是由其递推公式经过若干变换得到。
通项公式方法
求通项公式方法如下：
一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。
例：在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求该数列的通项公式an。
解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出数列{an}为a1=1，d=2的等差数列。所以an=2n-1。此类题主要是用等比、等差数列的定义判断，是较简单的基础小题。
二、已知数列的前n项和，用公式
s1 (n=1)。
sn-sn-1 (n2)。
例：已知数列{an}的前n项和sn=n2-9n，第k项满足5。
(a) 9 (b) 8 (c) 7 (d) 6。
解：∵an=sn-sn-1=2n-10，∴5<2k-10<8 ∴k=8 选 (b)。
此类题在解时要注意考虑n=1的情况。
三、已知an与sn的关系时，通常用转化的方法，先求出sn与n的关系，再由上面的(二)方法求通项公式。
例：已知数列{an}的前n项和sn满足an=snsn-1(n2)，且a1=-，求数列{an}的通项公式。
解：∵an=snsn-1(n2)，而an=sn-sn-1，snsn-1=sn-sn-1，两边同除以snsn-1，得=-1(n2)，而-=-=-，∴{-} 是以-为首项，-1为公差的等差数列，∴-= -，sn= -，再用(二)的方法：当n2时，an=sn-sn-1=-，当n=1时不适合此式，所以，- (n=1)- (n2)。
四、用累加、累积的方法求通项公式
对于题中给出an与an+1、an-1的递推式子，常用累加、累积的方法求通项公式。
例：设数列{an}是首项为1的正项数列，且满足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，求数列{an}的通项公式。
解：∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，可分解为[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0。
又∵{an}是首项为1的正项数列，∴an+1+an ≠0，∴-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，…，-=-,这n-1个式子，将其相乘得：∴ -=-。
又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈n*)。
五、用构造数列方法求通项公式
题目中若给出的是递推关系式，而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时，可以考虑通过变形，构造出含有 an(或sn)的式子，使其成为等比或等差数列，从而求出an(或sn)与n的关系，这是近一、二年来的高考热点，因此既是重点也是难点。
数列通项的七种方法题型
数列通项方法如下：
累加法:利用an=a1+(a2-a1) +... (an-an-1)通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如an+1=an+f(n)的递推数列通项公式的基本方法(f(n)可求前n项和)
例1.已知数列an满足an+1=an+2n+1，a1=1，求数列an的通项公式解:由an+1=an+2n+1得an+1-an=2n+1则
an=(an-an-1) +(an-1-an-2) +...+ (a3-a2) + (a2-a1) +a1=[2 (n-1) +1]+[2 (n-2) +1]+...+ (2x2+1) + (2x1+1) +1=2[(n-1) +(n-2) +...+2+1]+ (n-1) +1
=2+ (n-1) +1
= (n-1) (n+1) +1
=n2
累乘法:利用恒等式an=a1...(an0，n?n)求通项公式的方法称为累乘法，累乘法是求型如:an+1=g (n)an的递推数列通项公式的基本方法(数列g (n)可求前n项)
例3.已知数列fan中a1=，an=an-1 (n?奥2)求数列an的通项公式。
解:当n? 叟2时，=，=，=，...=将这n-1个式子累乘，得到=，从而an=x=，当n=1时,==a1，所以an=。
注:在运用累乘法时，还是要特别注意项数，计算时项数容易出错
公式法:利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有an=Sn-Sn-1(n?
叟2)，等差数列或等比数列的通项公式。
例4.已知Sn为数列an的前n项和，且Sn=2n+1，求数列an的通项公式解:当n=1时，a1=S1=2+1=3，当n? 叟2时，an=Sn-Sn-1= (2n+1) - (2n-1+1) =2n-1.而n=1时，21-1=1fa1，..an3 (n=1) 2n-1 (n? 2)。
四、构造新数列(待定系数法): @将递推公式an+1=qan+d (g，d为常数，q0，d0) 通过an+1+x)=q (an+x)与原递推公式恒等变成an+1+=q (an+)的方法叫构造新数列
通项公式方法汇总十二种
求通项公式的方法有累加法、累乘法、待定系数法、迭代法、取对数法、换元法、数学归纳法。
按一定次序排列的一列数称为数列，而将数列{an}的第n项用一个具体式子（含有参数n）表示出来，称作该数列的通项公式。这正如函数的解析式一样，通过代入具体的n值便可求知相应an项的值。而数列通项公式的求法，通常是由其递推公式经过若干变换得到。
等差数列是常见数列的一种，可以用AP表示，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫作等差数列的公差，公差常用字母d表示。
通项公式的法
数列通项公式的求法如下：
等差数列:通项公式an=a1+(n-1)d，首项a1,公差d。
an第n项数an=ak+(n-k)d，ak为第k项数，若a,A,b构成等差数列，则A=(a+b)/22。
等差数列前n项和:设等差数列的前n项和为：Sn即Sn=a1+a2+...+an;
那么Sn=na1+n(n-1)d/2=dn^2(即n的2次方)/2+(a1-d/2)n；
还有以下的求和方法:不完全归纳法、累加法、倒序相加法。
等比数列:通项公式：an=a1*q^(n-1)(即qn-1次方)，a1为首项,an为第n项，
an=a1*q^(n-1),am=a1*q^(m-1)则an/am=q^(n-m)，
其中an=am*q^(n-m)；a,G,b若构成等比中项,则G^2=ab(a,b,G不等于0)；若m+n=p+q则am×an=ap×aq2。
等比数列前n项和设a1,a2,a3...an构成等比数列前n项和：
Sn=a1+a2+a3...anSn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)，(这个公式虽然是最基本公式,但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推导的,这时可能要直接从基本公式推导过去)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q);
q不等于1，Sn=na1。
q=1，求和一般有5个方法:完全归纳法（即数学归纳法）、累乘法、错位相减法、倒序求和法、裂项相消法 ：公式法、累加法、累乘法、待定系数法 。
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