平面几何中的向量方法，平面向量模的计算方法

平面几何中的向量方法

平面几何中的向量方法：以对角线AC、BD的交点作为原点做平面直角坐标系，得对角线AC、BD的向量分别为（a，0），（0，b），由于数量积等于零。

平面几何中，向量指具有大小（magnitude）和方向的量。

它可以形象化地表示为带箭头的线段，箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小，与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。

平面向量模的计算方法

向量的运算

加法运算

向量加法的定义

已知向量a、b，在平面上任意取一点A，作AB=a，BC=b，再作向量AC，则向量AC叫做a与b的和，记做a+b，即a+b=AB+BC=AC

AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。（首尾相连，连接首尾，指向终点) 同样，作AB=a,且AD=BC,再作平行AD的BC=b，连接DC，因为AD∥BC，且AD=BC，所以四边形ABCD为平行四边形，AC叫做a与b的和，表示为：AC=a+b.这种方法叫做向量加法的平行四边形法则。（共起点，对角连）。

已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。 对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。

|a-b|≤|a+b|≤|a|+|b|。

向量的加法满足所有的加法运算定律。

减法运算

AB-AC=CB，这种计算法则叫做向量减法的三角形法则。（共起点，连终点，方向指向被减向量）

与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，－(－a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

（1）a+(－a)=(－a)+a=0（2）a－b=a+(－b)。

数乘运算

实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|=|λ||a|，当λ > 0时，λa的方向和a的方向相同，当λ <0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa= 0。

设λ、μ是实数，那么：（1）(λμ)a= λ(μa)（2）(λ + μ)a= λa+ μa（3）λ(a± b) = λa± λb（4）(－λ)a=－(λa) = λ(－a)。

向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。

坐标运算

已知a=（x1，y1），b=（x2，y2）

则a+b=（x1i+y1j）+（x2i+y2j）

=(x1+x2)i+(y1+y2)j

即 a+b=（x1+x2，y1+y2）。

同理可得 a-b=（x1-x2，y1-y2）。

这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。

由此可以得到：

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。

根据上面的结论又可得

若a=(x,y),则λa=(λx,λy)

这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

向量的数量积

向量数量积定义：

（1）向量a与向量b的夹角：已知两个非零向量，过O点做向量OA=a，向量OB=b，则角AOB=θ叫做向量a与b的夹角。

（2）已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积，记作a·b，θ是a与b的夹角，|a|cos θ（|b|cos θ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量与任意向量的数量积为0。

a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2 向量的数量积的性质

(1)a·a=∣a∣^2≥0

(2)a·b=b·a

(3)k(ab)=(ka)b=a(kb)

(4)a·(b+c)=a·b+a·c

(5)a·b=0<=>a⊥b

（6）a=kb<=>a//b

（7）e1·e2=|e1||e2|cosθ=cosθ

向量的混合积

定义：给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积a×b，再和向量c作数量积(a×b)·c，所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c

混合积具有下列性质：

1、三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1）

2、上性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0

3、(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)

4、(a×b)·c=a·(b×c)

平面向量及运算的坐标表示教学视频

平面向量的坐标表示方法是将向量的起点放在坐标原点，然后用向量的终点的坐标减去起点的坐标得到一个新的有序数对，这个有序数对就是这个向量的坐标表示。

1、平面向量是指在平面内有大小和方向的向量。平面向量可以表示为有序数对，也可以用坐标表示。

2、平面向量的运算也可以用坐标表示。向量的加法是将两个向量的坐标相加，向量的减法是将两个向量的坐标相减。

3、除了向量的加减法，还有向量的数量积和向量的叉积。向量的数量积是两个向量的模长相乘再乘以它们的夹角的余弦值，向量的叉积是两个向量的模长相乘再乘以它们的夹角的正弦值。这两种运算也可以用坐标表示，但需要用到向量的行列式表示方法。

平面向量的一些介绍：

1、定义：平面向量是指在平面内具有大小和方向的量，它可以用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

2、特点：平面向量具有大小和方向两个特点，它可以进行加减、数乘、点乘等运算。平面向量的大小可以用向量的模表示，向量的方向可以用向量的夹角表示。

3、应用：平面向量在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。在数学中，平面向量可以用来描述几何图形的位置和方向，可以用来求解向量的模、方向、夹角等。在物理中，平面向量可以用来描述物体的运动和力的作用方向，可以用来求解速度、加速度、力等。

问 向量的表示方法 有哪几种类型

1、代数表示：一般印刷用黑体小写字母α、β、γ … 或a、b、c … 等来表示,手写用在a、b、c…等字母上加一箭头表示。

2、几何表示：向量可以用有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向。

（若规定线段AB的端点A为起点,B为终点,则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度.这种具有方向和长度的线段叫做有向线段.）

3、坐标表示：

（1）在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为一组基底.a为平面直角坐标系内的任意向量,以坐标原点O为起点作向量OP=a。

由平面向量基本定理知,有且只有一对实数（x,y）,使得 a=向量OP=xi+yj,因此把实数对（x,y）叫做向量a的坐标,记作a=（x,y）.这就是向量a的坐标表示.其中（x,y）就是点P的坐标.向量OP称为点P的位置向量。

（2） 在立体三维坐标系中,分别取与x轴、y轴,z轴方向相同的3个单位向量i,j,k作为一组基底.若a为该坐标系内的任意向量,以坐标原点O为起点作向量OP=a。

由空间基本定理知,有且只有一组实数（x,y,z）,使得 a=向量OP=xi+yj+zk,因此把实数对（x,y,k）叫做向量a的坐标,记作a=（x,y,z）.这就是向量a的坐标表示.其中（x,y,k）,也就是点P的坐标.向量OP称为点P的位置向量。

（3） 当然,对于空间多维向量,可以通过类推得到 。

注：

向量的定义：

在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的只有大小，没有方向的量叫做数量（物理学中称标量）。

向量的记法：印刷体记作粗体的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。 如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如Oxy平面中(2,3)是一向量。

在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力等等。与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。

几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。

不过，依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系，也可以透过选取恰当的定义，在向量空间上介定范数和内积，这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。

扩展资料：

向量的运算法则：（向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则）

1、向量的加法

OB+OA=OC.

a+b=(x+x',y+y').

a+0=0+a=a.

向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a；

结合律：(a+b)+c=a+(b+c).

2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0

AB-AC=CB.

a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').

3、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣.

当λ＞0时,λa与a同方向；

向量的数乘法则：

当λ＜0时,λa与a反方向；

向量的数乘当λ=0时,λa=0,方向任意.

当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.

注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.

实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.

当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；

当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍.

注：数与向量的乘法满足下面的运算律 :

①结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).

②向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.

③数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

④数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.

4、向量的数量积

定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣.

向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'.

向量的数量积的运算律 ：

①a·b=b·a（交换律）；

②(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)；

③（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；

向量的数量积的性质 ：

a·a=|a|的平方.

a⊥b 〈=〉a·b=0.

|a·b|≤|a|·|b|.（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|）

注：向量的数量积与实数运算的主要不同点 ：

①向量的数量积不满足结合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2.

②向量的数量积不满足消去律,即：由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.

③|a·b|≠|a|·|b|

④由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.

⑤向量的向量积

定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b（这里并不是乘号,只是一种表示方法,与“·”不同,也可记做“∧”）。

若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0。

向量的向量积性质：

∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.

a×a=0.

a垂直b〈=〉a×b=|a||b|.

向量的向量积运算律 ：

a×b=-b×a；

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；

a×（b+c）=a×b+a×c.

注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。

参考资料：

向量的表示方法

向量的表示方法：印刷体记作黑体（粗体）的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如xOy平面中(2,3)是一向量。

向量的表示方法

1、代数表示：一般印刷用黑体小写字母α、β、γ … 或a、b、c … 等来表示，手写用在a、b、c…等字母上加一箭头表示。

2、几何表示：向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。（若规定线段AB的端点A为起点，B为终点，则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。这种具有方向和长度的线段叫做有向线段。）

3、坐标表示：

1) 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为一组基底。a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。由平面向量基本定理知，有且只有一对实数（x，y），使得 a=向量OP=xi+yj，因此把实数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y）。这就是向量a的坐标表示。其中（x，y）就是点P的坐标。向量OP称为点P的位置向量。

2) 在立体三维坐标系中,分别取与x轴、y轴,z轴方向相同的3个单位向量i，j, k作为一组基底。若a为该坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。由空间基本定理知，有且只有一组实数（x，y, z），使得 a=向量OP=xi+yj+zk，因此把实数对（x，y, k）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y, z）。这就是向量a的坐标表示。其中（x，y, k）,也就是点P的坐标。向量OP称为点P的位置向量。

3) 当然,对于空间多维向量,可以通过类推得到。

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