罗氏几何实际意义，怎样理解罗氏几何的概念

罗氏几何实际意义

罗氏几何实际意义：罗氏几何在天体理论有着广泛的应用。

罗巴切夫斯基几何，也称双曲几何，波利亚·罗巴切夫斯基几何或罗氏几何，是一种独立于欧几里得几何的一种几何公理系统。

双曲几何的公理系统和欧氏几何的公理系统不同之处在于欧几里得几何的“第五公设”。

在这种公理系统中，经过演绎推理，可以证明一系列和欧氏几何内容不同的新的几何命题，比如三角形的内角和小于180度。

怎样理解罗氏几何的概念

罗巴切夫斯基几何学的公理系统和欧氏几何学不同的地方仅仅是把欧氏几何中“一对分散直线在其唯一公垂线两侧无限远离”这一几何平行公理用“从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。

我们知道，罗巴切夫斯基几何除了一个平行公理之外采用了欧氏几何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧氏几何中如果是正确的，在罗氏几何中也同样是正确的。在欧氏几何中，凡涉及到平行公理的命题，在罗巴切夫斯基几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。下面举几个例子加以说明：

欧氏几何:

同一直线的垂线和斜线相交。

垂直于同一直线的两条直线平行。

存在相似的多边形。

过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。

罗巴切夫斯基几何:

同一直线的垂线和斜线不一定相交。

垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。

不存在相似的多边形。

过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。

从上面所列举得罗巴切夫斯基几何的一些命题可以看到，这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾。所以罗巴切夫斯基几何中的一些几何事实没有象欧氏几何那样容易被接受。但是，数学家们经过研究，提出可以用我们习惯的欧氏几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗氏几何是正确的。

1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。

人们既然承认欧氏几何是没有矛盾的，所以也就自然承认非欧几何没有矛盾了。直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。

罗氏几何的实际应用

1.凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧氏几何中如果是正确的，在双曲几何中也同样是正确的。

2.而依赖于平行公理的命题，在双曲几何中都不成立。

3.罗巴切夫斯基几何，也称双曲几何，波利亚罗巴切夫斯基几何或罗氏几何，是一种独立于欧几里得几何的一种几何公理系统。

4.双曲几何的公理系统和欧氏几何的公理系统不同之处在于欧几里得几何的“第五公设”被代替为“双曲平行公理”。

5.在这种公理系统中，经过演绎推理，可以证明一系列和欧氏几何内容不同的新的几何命题，比如三角形的内角和小于180度。

罗氏几何有什么作用

罗巴切夫斯基几何（双曲几何）是非欧几何的一种，它在天体理论有着广泛的应用：

在这里，我们从双曲几何一直说到著名的Gauss-Bonnet-Chern定理，我们还要提到一个人，那就是伟大的Riemann，正是他创立了狭义的Riemanan几何（Riemann Geometry），然后又把这个结果纳入他创立的极度深邃的“广义Riemanan几何（Riemannian Geometry，分清楚与Riemann Geometry的区别，它们形式上差别是 “ian”，实质上的差别却是“常曲率”与“任意曲率”的差别），推广了Gauss 的曲面内蕴几何学，定义了抽象Riemann度量，仅仅在2维情形就直接摆脱了Euclidean空间的嵌入研究，使曲面的研究不再等价于3维Euclidean空间中的曲面研究。著名的Poincare上半平面上定义了Poincare度量，它无法在3维Euclidean 空间中实现嵌入，Poincare度量就是Riemann度量的一种。正如Milnor的所言，双曲几何在Riemann几何出现前只是没手没脚的躯干而已。Riemann让这个躯干成为正常人体。 Riemanan之后，Beltrami使伪球面上实现了局部的双曲几何，Klein在开单位圆（不包括圆周）上实现了整体的双曲几何，而Poincare在上半平面（不包括实数轴）上实现了整体双曲几何。容易证明，单位圆和上半平面存在共形映射，而单位圆周和实数轴作为两个域的边界，也一一对应。在单位圆上赋予Poincare度量（Poincare metric），就可以计算出它的截面曲率为-1，证明双曲几何的空间曲率小于零。正如我们所知道的，双曲几何从Poincare去世后发展至今，最牛的人物是Thurston，Fields奖获得者。此外，这个学科的发展很缓慢，足见其艰难，也足见Poincare之伟大。大名鼎鼎的Schwarzschild早在26岁时就考虑过宇宙如果为弯曲的话，曲率半径应该为多少，他在19世纪末时就说：“本世纪有人在Euclid几何之外提出non- Euclid几何，其主要实例就是球面空间和伪球面空间。我们如果知道可能具有有限曲率半径的球面和伪球面几何中世界是什么样子，我们会感到惊讶。如果有这种可能，你会感到自己处在几何学的仙境里；而且如此美妙的仙境会不会变为现实，我们也无法知道。” 他还应用当时的天文学数据估算了3维空间曲率半径的极限，认为双曲空间与球形空间的曲率半径的下限分别为64光年和1600光年。我们当然知道，在1900年的时候，天文测距技术还是不完善的，实际上Einstein 提出静态宇宙学模型时（1917年）对宇宙大小的认识还是很模糊的，甚至于Hubble提出膨胀宇宙学说时，由于造父变星光度的分析有错误，使得宇宙的观测也相应出现严重失误。因此，在Schwarzschild那个时代，对宇宙有着如此的梦幻与计算，实在是非常了不起的。他的思想已经深入到双曲几何和椭圆几何中去了。说个题外话，现代微分几何学家处理三维问题和四维问题时面对的困难相差时很大的，因为三维空间Ricci曲率如果为零，则Riemann截面曲率就为零，而四维空间没有这个性质。但是在Schwarzschild那时，他肯定无法考虑到这个，所以如果他牛到直接考虑四维时空，也照样提刀上阵：）我们也知道，Lobachevskii在提出双曲几何时就已经想象到它或许会在宇宙中实现，他说：“同时，不能不重视Laplace的见解：我们所见到的星星饿银河只属于天体的一部分，就像微弱的、若隐若现的斑点，类似于我们在猎户星座、摩羯星座及其他星座中所看到的一样。于是，且不说在想象中空间可以无限地延伸，自然界本身向我们显示的距离，甚至同我们的地球到恒星的距离相比，后者也因微小而可以忽略。此外，不能进而断言，假定直线的度量不依赖于角——这一假设，许多几何学家想采纳它作为毋需证明的严格的真理——可能在我们过渡到可见世界的极限之前，就会发现它有可以觉察到的错误。” 英国的Clifford实际上也设想过这个问题，但是到了Schwarzschild时，这个梦想被继续深化了。这样我们就可以理解为什么Einstein一搞出广义相对论，Schwarzschild就给出第一个精确解，人家早就是老手了，学起这些新的几何学也时易如反掌，再加上解偏微分方程的特殊能力，使得Einstein对这个结果赞赏不已，比起6年后对待的Friedman，可谓无比真诚了。

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