向量数乘运算及其几何意义导学案
向量是有大小和方向的，向量数乘运算的几何意义是把向量沿着原方向（用正数数乘向量）或反方向（用负数数乘向量）伸长或缩短，特别注意的是0数乘向量得到零向量。
在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指代表向量的方向；线段长度代表向量的大小。与向量对应的只有大小，没有方向的量叫做数量（物理学中称标量）。
向量乘法运算及其几何意义
向量是由n个实数组成的一个n行1列（n×1）或一个1行n列（1×n）的有序数组；
向量的点乘,也叫向量的 内积、数量积 ，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个 标量 。
对于向量 和向量 ：
a和b的点积公式为：
注意：要求一维向量a和向量b的行列数相同。
点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影，有公式：
推导过程如下，首先看一下向量组成：
定义向量：
根据三角形余弦定理有：
根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有：
即：
向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ：
根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为：
方向基本相同，夹角在0°到90°之间
正交，相互垂直
方向基本相反，夹角在90°到180°之间
两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。
对于向量a和向量b：
其中：
根据i、j、k间关系，有：
在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。
在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：
在二维空间中，叉乘还有另外一个几何意义就是：a×b等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。
向量数乘运算及其几何意义教案
向量数乘运算及其几何意义
向量是有大小和方向的。向量数乘运算的几何意义是：把向量沿着原方向（用正数数乘向量）或反方向（用负数数乘向量）伸长或缩短，特别注意的是0数乘向量得到零向量。
向量的数乘运算的定义：
1．定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量
，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.
2．规定：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
3．运算律：
设λ，μ为实数，则(1)λ(μa)＝λμa；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
特别地，我们有
(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb
向量的数乘运算
定义：一般我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa。
运算规则：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
注意事项：
(1)λa中的实数λ叫做向量a的系数．
(2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小．
(3)当λ＝0或a＝0时，λa＝.注意是0，而不是0.
向量相乘的几何意义
向量相乘的几何意义：表示一向量在另一向量上的射影乘以另一向量。
一、向量的介绍
在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量），指具有大小和方向的量。
二、向量的类型
单位向量：长度等于1个单位的向量。
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。零向量与任一向量平行。
相等向量：长度相等且方向相同的向量。
三、数与向量的乘法满足的运算律
结合律：（λa）·b=λ（a·b）=（a·λb）。
向量对于数的分配律（第一分配律）：（λ+μ）a=λa+μa。
数对于向量的分配律（第二分配律）：λ（a+b）=λa+λb。
数乘向量的消去律：1、如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。2、如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
向量的表达方式
1、代数表示
一般印刷用黑体的小写英文字母（a、b、c等）来表示，手写用在a、b、c等字母上加一箭头（→）表示，也可以用大写字母AB、CD上加一箭头（→）等表示。
2、几何表示
向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小，向量的大小，也就是向量的长度。长度为0的向量叫做零向量，记作长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。箭头所指的方向表示向量的方向。
3、坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为一组基底。a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。
由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数（x，y），这就是向量a的坐标表示。其中（x，y）就是点P的坐标。向量OP称为点P的位置向量。
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