秦九韶公式是怎么推导
秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。
所谓“实”、“隅”指的是，在方程px2=qk，p为“隅”，Q为“实”。以△、a、b、c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以q=1/4[c2a2-(c%|2+a2-b2/2)2]，当P＝1时，△2＝q，S△=√{1/4[c2a2-(c2+a2-b2/2)2]}，因式分解得：1/16[(c+a)2-b2][b62-(c-a)2]；=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)；=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)；(b+a+c-2c)；=p(p-a)(p-b)(p-c)；由此可得：S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]；其中p=1/2(a+b+c)。
秦九韶公式证明过程
S=absinC/2=ab/2*√[1-(cosC)^2]
=ab/2*√[1-[(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2b^2]
=√[a^2b^2/4-(a^2+b^2-c^2)^2/16]
=√1/4{a^2b^2-[(a^2+b^2-c^2)/2]^2},
主要用三角关系转化sinC=√[1-(cosC)^2],和利用余弦定理
海伦-秦九韶公式证明过程
海伦公式的几种另证及其推广
关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：
设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p
=
(a+b+c),则
S△ABC
=
aha=
ab×sinC
=
r
p
=
2R2sinAsinBsinC
=
=
其中，S△ABC
=
就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。
海伦公式在解题中有十分重要的应用。
一、
海伦公式的变形
S=
=
①
=
②
=
③
=
④
=
⑤
二、
海伦公式的证明
证一
勾股定理
分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC
=
aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。
证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得:
x
=
y
=
ha
=
=
=
∴
S△ABC
=
aha=
a×
=
此时S△ABC为变形④，故得证。
证二：斯氏定理
分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D，
若BD=u，DC=v,AD=t.则
t
2
=
证明：由证一可知，u
=
v
=
∴
ha
2
=
t
2
=
－
∴
S△ABC
=
aha
=
a
×
=
此时为S△ABC的变形⑤，故得证。
证三：余弦定理
分析：由变形②
S
=
可知，运用余弦定理
c2
=
a2
+
b2
－2abcosC
对其进行证明。
证明：要证明S
=
则要证S
=
=
=
ab×sinC
此时S
=
ab×sinC为三角形计算公式，故得证。
证四：恒等式
分析：考虑运用S△ABC
=r
p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。
恒等式：若∠A+∠B+∠C
=180○那么
tg
·
tg
+
tg
·
tg
+
tg
·
tg
=
1
证明：如图，tg
=
①
tg
=
②
tg
=
③
根据恒等式，得：
+
+
=
①②③代入，得：
∴r2(x+y+z)
=
xyz
④
如图可知：a＋b－c
=
(x+z)＋(x+y)－(z+y)
=
2x
∴x
=
同理：y
=
z
=
代入
④，得：
r
2
·
=
两边同乘以
，得：
r
2
·
=
两边开方，得：
r
·
=
左边r
·
=
r·p=
S△ABC
右边为海伦公式变形①，故得证。
证五：半角定理
半角定理：tg
=
tg
=
tg
=
证明：根据tg
=
=
∴r
=
×
y
①
同理r
=
×
z
②
r
=
×
x
③
①×②×③,得：
r3
=
×xyz
海伦-秦九韶公式证明过程
三角形ABC，三边长a,b,c
证明当p＝1／2(a＋b＋c）时，三角形面积为S△＝√p(p－a)(p－b)(p－c)
解：
S=1/2*absinC （正弦面积公式，可以推导）
=1/2*ab√[1-(cosC)²]
因为1-(cosC)²=1-[(a²+b²-c²)/(2ab)]² -------余弦公式cosC=a²+b²-c²)/(2ab）
所以
S=[(2ab)²-(a²+b²-c²)^2]/(2ab)²
=(2ab+a²+b²-c²)(2ab-a²-b²+c²)/(2ab)²
=[(a+b)²-c²]{c²-(a-b)²]/(2ab)²
=(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)/[4(ab)²]
=4*(a+b+c)/2*(a+b-c)/2*(c+a-b)/2*(b+c-a)/2]/(ab)²
又因为p=(a+b+c)/2--->(a+b-c)/2=(a+b+c)/2-c=p-c;(c+a-b)/2)=p-b;(b+c-a)/2=p-a
S=1/2*ab*√[4p(p-a)(p-b)(p-c)/(ab)²]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
以上就是关于秦九韶公式证明过程，秦九韶公式是怎么推导的全部内容，以及秦九韶公式是怎么推导的相关内容,希望能够帮到您。
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