三阶行列式的几何意义
是其行向量或列向量所张成的平行六面体的有向体积。一个行列式可以通过拆分某一个列向量得到两个行列式的和。
行列式的有两行或者两列元素相同，它对应的空间平行六面体的两条邻边重合，相当于三维空间中六面体被压成了高度为零的二维平面。
行列式为0为什么秩小于n
建议你从行列式的几何意义去想，二阶行列式的值就是两个向量组成的平行四边形的面积（正负一样），三阶行列式就是三个向量组成的三维图形的体积，以此类推。比如二阶行列式如果不为零，相应的平行四边形面积不为零，所以两个向量线性无关（有角度），所以满秩，高阶也是这个道理。也就是说，如果行列式的值不为零，就会满秩，为零秩就会小于n
三阶行列式的几何意义
问题一：行列式的几何意义 行列式的一个自然的源起是n维平行体的体积。行列式的定义和n维平行体的体积有着本质上的关联。 在一个二维平面上，两个向量X =(a, c)和X' =(b, d)的行列式是： 比如说，两个向量X =(2, 1)和X' =(3, 4)的行列式是： ・经计算可知，当系数是实数时，行列式表示的是向量X和X'形成的平行四边形的有向面积，并有如下性质：・行列式为零当且仅当两个向量共线（线性相关），这时平行四边形退化成一条直线。 ・如果以逆时针方向为正向的话，有向面积的意义是：平行四边形面积为正当且仅当以原点为不动点将X逆时针“转到”X'处时，扫过的地方在平行四边形里，否则的话面积就是负的。如右图中，X和X'所构成的平行四边形的面积就是正的。 ・行列式是一个双线性映射。也就是说， ，并且 。 其几何意义是：以同一个向量v作为一条边的两个平行四边形的面积之和，等于它们各自另一边的向量u和u'加起来后的向量：u + u'和v所构成的平行四边形的面积，如左图中所示。 在三维的有向空间中，三个三维向量的行列式是： 比如说，三个向量 (2, 1, 5)、(6, 0, 8)和 (3, 2, 4)的行列式是： 当系数是实数时，行列式表示X、X′和X″三个向量形成的平行六面体的有向体积，也叫做这三个向量的混合积。同样的，可以观察到如下性质：・行列式为零当且仅当三个向量共线或者共面（三者线性相关），这时平行六面体退化为平面图形，体积为零。 ・三维空间中有向体积的定义要比二维空间中复杂，一般是根据右手定则来约定。比如右图中(u,v,w)所形成的平行六面体的体积是正的，而(u,w,v)所形成的平行六面体的体积是负的。这个定义和行列式的计算并不矛盾，因为行列式中向量的坐标都是在取好坐标系后才决定的，而坐标系的三个方向一般也是按照右手规则来设定的。如果计算开始时坐标系的定向反过来的话，有向体积的定义也要跟着反过来，这样行列式才能代表有向体积。 ・这时行列式是一个“三线性映射”，也就是说，对第一个向量有 ，对第二、第三个向量也是如此。其几何意义和二维时基本相同，是指当生成两个平行六面体的每组三个向量中如果有两个是重合的，比如分别是：(u,v,w)和(u',v,w)，那么它们的体积之总和等于将u和u'加起来后的向量u + u'和v,w所形成的平行六面体的体积，如右图所示。 设E是一个一般的n维的有向欧几里得空间。一个线性变换把一个向量线性地变为另一个向量。比如说，在三维空间中，向量(x,y,z)被映射到向量(x',y',z')： 其中a、b、c是系数。如右图，正方体（可以看作原来的一组基形成的）经线性变换后可以变成一个普通的平行六面体，或变成一个平行四边形（没有体积）。这两种情况表示了两种不同的线性变换，行列式可以将其很好地分辨出来（为零或不为零）。更详细地说，行列式表示的是线性变换前后平行六面体的体积的变化系数。如果设左边的正方体体积是一，那么中间的平行六面体的（有向）体积就是线性变换的行列式的值，右边的平行四边形体积为零，因为线性变换的行列式为零。这里我们混淆了线性变换的行列式和向量组的行列式，但两者是一样的，因为我们在对一组基作变换。
问题二：二阶行列式与三阶行列数有着怎样的几何意义 二阶行列式，表示两向量围成的平行四边形有向面积（两向量叉乘a×b）
三阶行列式，表示空间三向量围成的平行六面体有向体积（向量混合积(a×b)・c）
问题三：转置行列式的几何意义是什么？ 比如三阶行列式的转置在几何上怎么解释该变换得到的结果相等？ 转置行列式是将原行列式的所有的行作为新行列式的列构成的行列式也可以说是行列互换两个行列式的值相等.这是行列式的性质
问题四：如何证明三阶行列式的几何意义就是六面体的体积 题干不清
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