柯西不等式怎么用
柯西不等式用在二维形式、向量形式、三角形式、概率论形式、积分形式与一般形式中。柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中十分广泛的应用，在高等数学提升中与研究中非常重要。
1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入。
2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化，然后运用分式中的方法。
3、运用两个特别极限。
4、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。
5、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。
6、等阶无穷小代换。
7、夹挤法。这不是普遍方法，因为不可能放大、缩小后的结果都一样。
8、特殊情况下，化为积分计算。
9、其他极为特殊而不能普遍使用的方法。
三元柯西不等式的公式是什么
1、二维形式：
(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥（ac+bd)^2
等号成立条件：ad=bc
2、三角形式：
√（a^2＋b^2)＋√（c^2＋d^2)≥√［（a－c)^2＋（b－d)^2]
等号成立条件：ad=bc
3、向量形式：
｜α｜｜β｜≥｜α·β｜，α＝（a1,a2,…，an)，β＝（b1,b2,…，bn)（n∈N，n≥2）
等号成立条件：β为零向量，或α＝λβ（λ∈R）。
4、一般形式：
（∑ai^2)(∑bi^2)≥（∑ai·bi)^2
等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…＝an:bn，或ai、bi均为零。
1.柯西不等式的特点：左边是平方和的积，简记为方和积，右边是乘积和的平方。
2.柯西不等式的直接应用。
例：已知x,y满足x+3y=4,求4x2+y2的最小值。
分析：
方法一，大家看到该题后的直接想法可能是换元，把关于x,y的双元变量变换为关于x或y的一元变量问题，再借助于二次函数的思想可以解决。
方法二，由于其结构特征与柯西不等式的形式非常相似。
柯西不等式的应用
柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，技巧以拆常数，凑常值为主。 例：设a、b、c为正数且互不相等，求证： 。
证明：将a+b+c移到不等式的左边，化成：
=
由于a、b、c为正数且互不相等，等号取不到。
附用基本不等式证 设 ，则所证不等式等价于
。
因为 。 所以上式显然成立。 例：求函数 的最大值。
函数的定义域为[5，9]，y>0，由柯西不等式变形
则 。
函数仅在 ，即 时取到。
柯西不等式在高中数学中的应用
柯西不等式（Cauchy-Schwarz不等式）是高中数学中一个重要的不等式，它用于衡量两个向量之间的内积关系。柯西不等式的公式如下：
对于实数向量 a 和 b，柯西不等式表述为：
|(a·b)| ≤ |a| * |b|
其中，a·b 表示向量 a 和向量 b 的点积（内积），|a| 表示向量 a 的长度（模长），|b| 表示向量 b 的长度（模长）。
对于复数向量 a 和 b，柯西不等式表述为：
|a·b| ≤ |a| * |b|
同样，这里的 a·b 表示向量 a 和向量 b 的点积（内积），|a| 表示向量 a 的长度（模长），|b| 表示向量 b 的长度（模长）。
柯西不等式的直观意义是：两个向量的点积的绝对值不会超过它们的长度之积。当两个向量的方向接近相同时，它们的点积取得最大值；当两个向量的方向接近相反时，它们的点积取得最小值。
柯西不等式在高中数学中应用广泛，涉及向量、复数、三角函数等各种数学概念和问题，是学习线性代数和解决各类数学问题的重要工具。
柯西不等式的讲解
一.公式基本结构
设ai、bi∈R，（i＝1，2，3……，n）
（a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn）2≦（a12+
a22+a32
+…+an2）(b12
+b22+b32+…+bn2)
当且仅当bi＝kai（i＝1，2，……，n）时，k为常数
时等号成立
二阶形式（a1b1+a2b2）2≦（a12+
a22）(b12
+b22)
三阶形式（a1b1+a2b2+a3b3）2≦（a12+
a22+a32）(b12
+b22+b32)
二．证明
先证明较简单的情况（以三阶形式为例，用构造法证明）
构造f(x)
=（a12+
a22+a32）x2+2（a1b1+a2b2+a3b3）x+(b12
+b22+b32)
=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+(a3x+b3)2≥0
△=4（a1b1+a2b2+a3b3）2-4（a12+
a22+a32）(b12
+b22+b32)
对于任意的x∈R等式恒成立,
∴△≤0，∴当且仅当
时，取“=”
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