求通项公式的11种方法
累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、换元法、数字归纳法、不动点法、特殊方程法和倒数变换法。
如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式叫做数列的通项公式。
有的数列的通项可以用两个或两个以上的式子来表示。
裂项公式的计算方法
累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、换元法、数字归纳法、不动点法、特殊方程法和倒数变换法。如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式叫做数列的通项公式。有的数列的通项可以用两个或两个以上的式子来表示。
数列求通向方法
1叠加法，叠积法
2线性递归方程法
3取对数法‘
4待定系数法
数列通项求法
1、用累加法求an=an－1+f（n）型通项
2、用累积法求an= f（n）an－1型通项
3、用待定系数法求an=Aan－1＋B型数列通项
4、通过Sn求an
5、取倒数转化为等差数列
6、构造函数模型转化为等比数列
7、数学归纳法
普遍的方法举例：
（1）数列{an}满足a1=1且an=an－1+3n－2（n≥2），求an
解：由an=an－1+3n－2知an－an－1=3n－2，记f（n）=3n－2= an－an－1
则an= （an－an－1）+（an－1－an－2）+（an－2－an－3）+…（a2－a1）+a1
=f（n）+ f（n－1）+ f（n－2）+…f（2）+ a1
=（3n－2）+[3（n－1）－2]+ [3（n－2）－2]+ …+（3×2－2）+1
=3[n+（n－1）+（n－2）+…+2]－2（n－1）+1
=3×2(（n+2）（n－1）)－2n+3=2(3n2－n)
（2）数列{an}满足a1=1且an=an－1+2n(1)（n≥2），求an。
解：由an=an－1+2n(1)知an－an－1=2n(1)，记f（n）=2n(1)= an－an－1
则an=（an－an－1）+（an－1－an－2）+（an－2－an－3）+…（a2－a1）+a1
=f（n）+ f（n－1）+ f（n－2）+…f（2）+ a1
=2n(1)+2n－1(1)+2n－2(1)+…+22(1)+1=2(1)－2n(1)
（3）已知数列{an}满足a1=1且an=n(2（n-1）)an—1（n≥2），求an
解：（1）由条件 an—1(an)=n(2（n－1）)，记f（n）=n(2（n－1）)
an= an—1(an)· an—2(an－1)·… a1(a2)·a1=f（n）f（n－1）f（n－2）…f（2）f（2）a1
=n(2（n－1）)·n－1(2（n－2）)·n－2(2（n－3）)·…3(2×2)·2(2×1)·1=n(2n－1)
数列的通项求法
等差数列，等比数列的通项公式分别为an=a1+(n-1)d,an=a1*q^(n-1)
二、基本公式：
9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=
10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d
an=ak+(n-k)d
(其中a1为首项、ak为已知的第k项)
当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。
11、等差数列的前n项和公式：Sn=
Sn=
Sn=
当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。
12、等比数列的通项公式：
an=
a1
qn-1
an=
ak
qn-k
(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)
13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n
a1
(是关于n的正比例式)；
当q≠1时，Sn=
Sn=
三、有关等差、等比数列的结论
14、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m
-
S3m、……仍为等差数列。
15、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则
16、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则
17、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m
-
S3m、……仍为等比数列。
18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。
19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列
{an
bn}、
、
仍为等比数列。
20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d
23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；
四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3
(为什么？)
24、{an}为等差数列，则
(c>0)是等比数列。
25、{bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn}
(c>0且c
1)
是等差数列。
26.
在等差数列
中：
（1）若项数为
，则
（2）若数为
则，
，
27.
在等比数列
中：
（1）
若项数为
，则
（2）若数为
则，
四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。
28、分组法求数列的和：如an=2n+3n
29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n
30、裂项法求和：如an=1/n(n+1)
31、倒序相加法求和：如an=
32、求数列{an}的最大、最小项的方法：
①
an+1-an=……
如an=
-2n2+29n-3
②
(an>0)
如an=
③
an=f(n)
研究函数f(n)的增减性
如an=
33、在等差数列
中,有关Sn
的最值问题——常用邻项变号法求解：
(1)当
>0,d<0时，满足
的项数m使得
取最大值.
(2)当
<0,d>0时，满足
的项数m使得
取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
裂项法求和
例题
1/1*4+1/4*7+1/7*10.........1/(3n-2)(3n+1)
怎么解这种不是n(n+1)的裂项法阿？
解答
1/(3n-2)(3n+1)
1/(3n-2)-1/(3n+1)=3/(3n-2)(3n+1)
只要是分式数列求和,可采用裂项法
裂项的方法是用分母中较小因式的倒数减去较大因式的倒数,通分后与原通项公式相比较就可以得到所需要的常数
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